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El teorema de la imposibilidad de Arrow expone un gran problema con la democracia

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Podría decirse que no hay nada más sacrosanto para las élites de hoy que la «democracia», con la que se refieren a «un resultado político que apoyamos». Sin embargo, irónicamente, uno de los resultados más sorprendentes y poderosos de la teoría de la elección social, a saber, el llamado teorema de la imposibilidad de Kenneth Arrow, muestra que incluso en principio no hay una forma coherente de agregar las preferencias individuales en una voluntad colectiva.

En cierto sentido, Arrow hizo a la democracia lo que Kurt Gödel hizo a los intentos de poner a las matemáticas sobre una base axiomática. Sin embargo, mientras que todo el mundo, desde filósofos a científicos cognitivos y programadores informáticos, cita a Gödel —incluso cuando no entienden realmente lo que demostró— casi nadie discute a Arrow cuando se trata de política. Mi explicación simple y cínica es que su resultado es tan devastador que es difícil decir algo al respecto. (Nótese que los economistas de libre mercado también podrían sufrir este problema, si hablamos demasiado simplista sobre la «optimización» de un resultado de mercado).

Por qué el gobierno de la mayoría no funciona

Antes de explicar el impactante resultado de Arrow, permítanme poner la mesa con una demostración de por qué la regla de la mayoría simple no es una regla viable para tomar decisiones de grupo. Supongamos que Alice, Bob y Charlie tienen las siguientes clasificaciones subjetivas de tres candidatos:

Específicamente, si preguntamos «¿la sociedad cree que Trump es mejor que Biden?», la respuesta es sí, porque Bob y Charlie creen que Trump es mejor que Biden, y superan a Alice en esa estrecha pregunta. Usando la regla de la mayoría, también podemos concluir que la «sociedad» piensa que Biden es mejor que Jorgensen, porque Alice y Charlie votan más que Bob. Así como la «sociedad» piensa que Trump vence a Biden y Biden vence a Jorgensen, para que el grupo sea racional también esperamos que la «sociedad» piense que Trump vence a Jorgensen. Y sin embargo, como indica la tabla, en esa estrecha cuestión los votantes dirían lo contrario: Alice y Bob votarían por Jo Jo en vez de por Donald. Ahora, con sólo tres votantes y tres posibles candidatos, debería ser relativamente simple determinar lo que «el grupo» piensa sobre el mejor candidato, ¿verdad? Sin embargo, si tenemos las preferencias políticas que se muestran en la tabla anterior, entonces la regla de la mayoría simple lleva a la intransitividad en la clasificación social.

Y así vemos, incluso con un ejemplo muy simple, que hay un problema fundamental con el uso de la regla de la mayoría simple como mecanismo para agregar las clasificaciones de las preferencias individuales en una única clasificación «social». Repito, no hay garantía de que las clasificaciones «sociales» resultantes obedezcan a la transitividad.

Además de ser preocupante conceptualmente, las clasificaciones intransitivas también sufren del problema práctico de que el ganador general depende del orden de los concursos por parejas. En nuestro ejemplo anterior, si el grupo se enfrentara primero a Biden contra Trump y luego el ganador se enfrentara a Jo Jo, entonces Jo Jo ganaría. Pero si en lugar de eso las élites quisieran a Biden, harían que los votantes decidieran primero entre Trump y Jo Jo, y luego que el ganador se enfrentara cara a cara con Sleepy Joe.

Debido a que una regla de elección social robusta no debería ser vulnerable a tal manipulación, los pensadores políticos han sabido desde Condorcet que la regla de la mayoría no es la respuesta.

El enfoque de Arrow

No sé si esta historia es apócrifa, pero me enseñaron que Kenneth Arrow comenzó en la escuela de posgrado a finales de los cuarenta y principios de los cincuenta para ser riguroso en la teoría de la elección social. Los economistas y otros científicos sociales formales sabían que había muchos tipos de procedimientos (o reglas) de elección social indeseables. Arrow, según la historia, originalmente no estaba tratando de encontrar el mejor, sino que simplemente estaba tratando de eliminar las reglas obviamente malas para centrar la atención en el conjunto de procedimientos de candidatos sobrevivientes.

El marco de Arrow fue una generalización de nuestra tabla anterior. Específicamente, Arrow asumió que había un número finito de ciudadanos que tenían cada uno clasificaciones subjetivas de los posibles «estados del mundo», y además asumió que las preferencias de cada ciudadano eran completas (lo que significa que el ciudadano tenía una opinión definitiva sobre cualquier comparación por pares, incluida la posibilidad de ser indiferente entre dos resultados) y transitorias.

Tomando esta lista de clasificaciones de preferencias completas y transitorias de los ciudadanos, Arrow quería un procedimiento que generara una clasificación de preferencias «sociales» completas y transitorias de los diversos «estados del mundo» posibles. Con el fin de descartar lo que parecían procedimientos evidentemente indeseables, Arrow insistió en que los procedimientos elegibles también obedezcan a los siguientes principios:

  • La no dictadura: no debería existir una persona en la sociedad de tal manera que, sin importar lo que digan los demás, el procedimiento siempre hace que la clasificación «social» sea idéntica a las preferencias de una persona. Para ser claros, está bien si en algún ejemplo particular de las clasificaciones de todos, la regla es que la clasificación «social» sea la misma que la de Jim. Pero si, independientemente de lo que Jim y todos los demás prefieran, la regla siempre hace que la «sociedad» esté de acuerdo con las opiniones personales de Jim, entonces sería un dictador en el sentido de Arrow.
  • Débil optimismo de Pareto: si cada ciudadano piensa que el resultado A es preferible al resultado B, entonces es mejor que el procedimiento escupa el resultado de que la «sociedad» prefiere A a B.
  • Independencia de las alternativas irrelevantes (IAI): este es el menos intuitivo de los axiomas, pero cuando lo entiendes, también suena razonable. Este criterio dice que la clasificación «social» del resultado A versus B sólo debe depender de cómo los ciudadanos comparan A con B.

Para tener una idea de lo que busca Arrow con el IAI, supongamos que un niño pide helado en un restaurante. El camarero dice: «Tenemos de vainilla o de chocolate». El niño elige vainilla. Entonces el camarero vuelve un minuto después y explica, «Lo siento, me acabo de dar cuenta de que todavía tenemos helado de fresa también. ¿Le gustaría cambiar su pedido?» El niño responde: «¡Sí! Pediré chocolate en su lugar».

Espero que el lector pueda ver por qué nuestro hipotético niño estaría aquí exhibiendo opciones inusuales. Esto está en el espíritu de lo que el criterio del IAI está prohibiendo.

El impactante resultado de Arrow

Para continuar con la historia, aparentemente Arrow se dispuso a podar los posibles procedimientos que violaban cualquiera de los criterios anteriores y terminó con... el set vacío. En otras palabras, Arrow se dio cuenta de que no existía un procedimiento para generar clasificaciones de preferencias «sociales» que obedeciera a su lista de requisitos aparentemente inocuos.

Lo que es realmente divertido es que cualquier lector interesado puede ver una prueba real del resultado de Arrow que no depende de los conocimientos matemáticos previos. Vean, por ejemplo, esta versión que Amartya Sen formuló. Animo de todo corazón a los curiosos a que lo intenten. Verán que no está basada en un truco; Arrow realmente demostró algo con una relevancia devastadora para la noción de soberanía política.

Conclusión

Mientras las élites de los medios de comunicación instan a los estadounidenses a votar y celebrar las maravillas de la «democracia», tanto en casa como en el mundo entero, tengan siempre presente el elefante en la habitación: Kenneth Arrow demostró en 1951 que todo el proyecto de la teoría de la elección social descansaba en arenas movedizas.

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Contact Robert P. Murphy

Robert P. Murphy is a Senior Fellow with the Mises Institute. He is the author of many books. His latest is Contra Krugman: Smashing the Errors of America's Most Famous KeynesianHis other works include Chaos Theory, Lessons for the Young Economist, and Choice: Cooperation, Enterprise, and Human Action (Independent Institute, 2015) which is a modern distillation of the essentials of Mises's thought for the layperson. Murphy is cohost, with Tom Woods, of the popular podcast Contra Krugman, which is a weekly refutation of Paul Krugman's New York Times column. He is also host of The Bob Murphy Show.

Note: The views expressed on Mises.org are not necessarily those of the Mises Institute.
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